문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 방정식 (문단 편집) == 개요 == > '''"세상에서 가장 아름다운 방정식."'''[* 수학에서 쓰이는 아름답다는 표현은 [[미적분]]과 [[선형대수학]], [[대수학]]에서 쓰이는 표현들이 시각적인 상태를 나타내는 3개의 위치 변수에 방정식으로 구현했다는 것이다. [[오일러 등식]]도 역시 수학에서 상관없어 보이는 여러 표현들이 사용되어 주기 함수를 해석적으로 설명했다는 측면에서 아름답다고 표현한다. ] > - [[피에르시몽 라플라스]] [[피에르시몽 라플라스]]와 관련있는 [[편미분방정식]]이다. [math(n)]차원 유클리드 공간 위에서 다음과 같이 정의된 라플라스 연산자(Laplace operator) 혹은 [[델(연산자)#s-3.4|라플라시안]](Laplacian) [math( \displaystyle \nabla^{2}f =\boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla}f )]) [* 라플라시안의 표기에 대해 물리학자들은 [math(\nabla^2)], 수학자들은 [math( \Delta)]를 선호하는 경향이 있다. 다만 델을 사용한 [math(\nabla^2)] 표기법은 유클리드 공간 전용으로, [[다양체]] 위의 일반화된 라플라스-벨트라미 작용소(Laplace-Beltrami operator)를 말할 때에는 사용하면 안된다.] 에 대해 [math( \nabla^2 f = 0)] 의 방정식을 말한다. 엄밀하게 세팅을 주자면 경계조건이 필요한데, 영역 [math(M)]이 주어져 있을 때 디리클레 경계조건은 [math(\partial M)] 위에서의 함수값을 지정하고, 노이만 경계조건은 [math(\partial M )] 위에서 경계의 법선벡터(normal vector) 방향으로의 방향미분을 제시한다. 더욱 일반적인 경우인 푸아송 방정식(Poisson equation) [math( \nabla^2 f = \phi )] 의 경우도 디리클레/노이만 경계조건을 각각 생각할 수 있다. 물리학에서 [[델(연산자)#s-3.4|라플라시안]]이 갖는 의미는 확산이나 파동과 연관되어 정말 다양하게 생각될 수 있으므로, 여기서 나온 라플라스 방정식은 일종의 근본적인 방정식처럼 생각된다. 라플라스 방정식 뿐만이 아니라 [[델(연산자)#s-3.4|라플라시안]]에 관련한 세 가지 방정식들 형태 * 라플라스 방정식: [math( \nabla^2 f = 0)] * 열 방정식: [math( \frac{\partial f }{\partial t} = \alpha \nabla^2 f)] * 파동 방정식: [math( \frac{\partial^2 f}{\partial^2 t} = c^2 \nabla^2 f )] 이 모두가 물리학의 여러 다른 곳에서 중요하게 등장하고, 라플라스 방정식은 아래 둘을 푸는 데에도 중요하게 쓰이기 때문에 상당히 오랫동안 연구되어 왔다. 다행히도 라플라스 방정식은 비교적 해를 찾기 수월한 편미분방정식에 속한다. 순수수학의 추상적 편미분방정식 이론에서는, 라플라스 방정식 비스무레한 특성을 가진 타원형 [[편미분방정식]](elliptic PDE)들은 모두 해가 잘 컨트롤되며 비슷한 해법이 존재한다는 것을 증명할 수 있다. 실전에서 해를 계산할 때는 영역의 모양에 따라 다양한 종류의 해법이 있고, 그 중 실제 손으로 계산할 수 있는 것들도 많다. 대부분의 편미방에서는 감히 엄두도 못낼 일이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기